Inkreis durch den Inkreismittelpunkt als Schnittpunkt der Winkelhalbierenden

Inkreismittelpunkt

Inkreismittelpunkt konstruieren aus dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Imkreismittelpunkt als Mittelpunkt vom Inkreis, als größter Kreis im Dreieck!

Definition Inkreismittelpunkt

Der Inkreismittelpunkt ergibt sich aus den Schnittpunkten von mindestens zwei Winkelhalbierenden im Dreieck.

Inkreismittelpunkt Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Inkreis berührt jede Seite nur an einem Punkt
Lage liegt immer innerhalb des Dreiecks

Inkreis des Dreiecks
A und B lassen sich verschieben

Inkreismittelpunkt bestimmen

Die Konstruktion des Inkreismittelpunkts des Dreiecks kann unübersichtlich werden durch die konstruierten Hilfskreise.

Je nach Möglichkeit können die entsprechenden Hilfskreise auch nur angedeutet werden.

Zur Konstruktion des Inkreismittelpunkts müssen zuerst die Winkelhalbierenden konstruiert werden.

Inkreis Dreieck

Winkelhalbierende konstruieren

Um den Inkreismittelpunkt und dann den entsprechenden Inkreis zu konstruieren sind folgende Kenntnisse notwendig:
Zuerst konstruieren wir für jeden Eckpunkt die Winkelhalbierende. Hier im Beispiel ist die Konstruktion der Winkelhalbierenden für A mit \(\alpha\) einmal Schritt für Schritt erklärt. Für die anderen Winkelhalbierenden muss das Gleiche entsprechend auch gemacht werden!
  1. Einen Kreis um A konstruieren der die Seiten b und c berührt
    1. Radius < als \(\overline{AC}\) und < als \(\overline{AB}\)
    2. (einen kleineren Radius wählen als die Länge der beiden anliegenden Seiten)
    3. Schnittpunkte mit den Seiten markieren (hier S1)
  2. Einen Kreis um die Schnittpunkte zeichnen durch den jeweils anderen Schnittpunkt
    1. Radius \(\overline{S_1 S_1}\)
    2. Neuen Schnittpunkt der Kreise markieren. Hier S2
  3. Schnittpunkte S2 verbinden
    1. Dadurch wurde eine Winkelhalbierende im Punkt A konstruiert
Jetzt ist für ein Eckpunkt die Winkelhalbierende konstruiert. Dies muss für mindestens zwei Eckpunkte gemacht werden um den Inkreismittelpunkt des Dreiecks zu ermitteln.

Winkelhalbierende konstruieren

Inkreismittelpunkt und Inkreis konstruieren

Hier sind für alle Eckpunkte die Winkelhalbierenden konstruiert. Der Schnittpunkt von mindestens zwei Winkelhalbierenden ist dann der Inkreismittelpunkt (hier S).

Von diesem Mittelpunkt S aus kann dann der Inkreis konstruiert werden, welcher der größte Kreis im Inneren des Dreiecks ist!

Der Inkreis berührt jede Seite maximal an einem Punkt. Dieser Punkt gibt dann auch Aufschluss darauf wie groß der Radius sein muss!

Um den Punkt zu finden, muss das Lot durch den ermittelten Mittelpunkt auf eine beliebige Seite gefällt werden. Hier fällen wir das Lot auf die Seite c.

  1. Einen Kreis von A durch S und von B durch S konstruieren
    1. Schnittpunkt der Kreise markieren, hier S1
  2. Den neuen Schnittpunkt S1 mit dem Inkreismittelpunkt verbinden
    1. Als Gerade oder Strecke
  3. Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Seite c markieren
    1. Hier S2
  4. Den Inkreis konstruieren mit dem Radius vom Inkreismittelpunkt zu dem Lotpunkt S2

Inkreis konstruieren
alle Punkte lassen sich verschieben!