Definition Inkreismittelpunkt
Inkreismittelpunkt | Schnittpunkt der Winkelhalbierenden |
Inkreis | berührt jede Seite nur an einem Punkt |
Lage | liegt immer innerhalb des Dreiecks |
Inkreis des Dreiecks
A und B lassen sich verschieben
Inkreismittelpunkt bestimmen
Die Konstruktion des Inkreismittelpunkts des Dreiecks kann unübersichtlich werden durch die konstruierten Hilfskreise.
Je nach Möglichkeit können die entsprechenden Hilfskreise auch nur angedeutet werden.
Zur Konstruktion des Inkreismittelpunkts müssen zuerst die Winkelhalbierenden konstruiert werden.
Winkelhalbierende konstruieren
- Konstruktion der Winkelhalbierenden
- Konstruktion eines Lotpunkts
Zuerst konstruieren wir für jeden Eckpunkt die Winkelhalbierende. Hier im Beispiel ist die Konstruktion der Winkelhalbierenden für A mit \(\alpha\) einmal Schritt für Schritt erklärt. Für die anderen Winkelhalbierenden muss das Gleiche entsprechend auch gemacht werden!
- Einen Kreis um A konstruieren der die Seiten b und c berührt
- Radius < als \(\overline{AC}\) und < als \(\overline{AB}\)
- (einen kleineren Radius wählen als die Länge der beiden anliegenden Seiten)
- Schnittpunkte mit den Seiten markieren (hier S1)
- Einen Kreis um die Schnittpunkte zeichnen durch den jeweils anderen Schnittpunkt
- Radius \(\overline{S_1 S_1}\)
- Neuen Schnittpunkt der Kreise markieren. Hier S2
- Schnittpunkte S2 verbinden
- Dadurch wurde eine Winkelhalbierende im Punkt A konstruiert
Winkelhalbierende konstruieren
Inkreismittelpunkt und Inkreis konstruieren
Hier sind für alle Eckpunkte die Winkelhalbierenden konstruiert. Der Schnittpunkt von mindestens zwei Winkelhalbierenden ist dann der Inkreismittelpunkt (hier S).
Von diesem Mittelpunkt S aus kann dann der Inkreis konstruiert werden, welcher der größte Kreis im Inneren des Dreiecks ist!
Der Inkreis berührt jede Seite maximal an einem Punkt. Dieser Punkt gibt dann auch Aufschluss darauf wie groß der Radius sein muss!
Um den Punkt zu finden, muss das Lot durch den ermittelten Mittelpunkt auf eine beliebige Seite gefällt werden. Hier fällen wir das Lot auf die Seite c.
- Einen Kreis von A durch S und von B durch S konstruieren
- Schnittpunkt der Kreise markieren, hier S1
- Den neuen Schnittpunkt S1 mit dem Inkreismittelpunkt verbinden
- Als Gerade oder Strecke
- Schnittpunkt zwischen der Geraden und der Seite c markieren
- Hier S2
- Den Inkreis konstruieren mit dem Radius vom Inkreismittelpunkt zu dem Lotpunkt S2
Inkreis konstruieren
alle Punkte lassen sich verschieben!