Polygonalzahl als figurierte Fünfeckszahl

Polygonalzahlen

Polygonalzahl als Fünfeckszahlen. Die Summe, jeder dritten aufeinanderfolgenden natürlichen Zahl beginnend bei 1, wird als Fünfeckszahl bezeichnet.

Fünfeckszahl als figurierte Polygonalzahl

Fünfeckszahlhäufig bezeichnet als \(Fn\)
Eigenschaftengehört zu den Polygonalzahlen
Formel\(F_n=\frac{n(3n-1)}{2}\)

Polygonalzahlen/ Fünfeckszahlen \(F_n\)

Fünfeckzahlen sind bestimmte Polygonalzahlen, die man figuriert als Fünfeck darstellen kann.

Die Summe, jeder dritten aufeinanderfolgenden natürlichen Zahl beginnend bei 1, wird als Fünfeckszahl bezeichnet.

Die gängige Schreibweise ist \(F_n\)

Hier beispielhaft die ersten fünf Fünfeckszahlen.

Erste Polygonalzahl als Fünfeck
\(F_1=1\)
Zweite Polygonalzahl als Fünfeck
\(F_2=1+4\)
Dritte Polygonalzahl als Fünfeck
\(F_3=1+4+7\)
Vierte Polygonalzahl als Fünfeck
\(F_4=1+4+7+10\)
Fünfte Polygonalzahl als Fünfeck
\(F_5=1+4+7+10+13\)

Die allgemeine Formel ist ist \(F_n=\frac{3n^2-n}{2}\)

Aufbau

Hier einmal der allgemeine Aufbau von \(F_1\) bis \(F_5\) animiert und figuriert dargestellt.

Rückschluss auf Formel

Wie kommt die allgemeine Formel \(F_n=\frac{3n^2-n}{2}\) zustande?

Beispiel an \(F_5\).

Die Fünfeckszahl besteht immer aus 3 gleich großen Dreieckszahlen \(D_5\). Kontur dargestellt als schwarzes Dreieck.

Wir haben also \(3*D_5\) minus den beiden Überschneidungen \(n=5\).

\(F_n=3*D_n-2*n\)

\(F_n=3*\frac{n^2+n}{2}-2*n\)

\(F_n=\frac{3n^2-n}{2}\)