Satz von Sylvester - Beispielbild für Beweis

Satz von Sylvester

Der Satz von Sylvester als Darstellung aufeinander folgender Zahlen mit ungeraden Teilern. Figurierte Darstellung zum einfachen Verständnis der Teilermenge.

Satz von Sylvester

Satz von Sylvester
benannt nach James Joseph Sylvester
Eigenschaftenwird zum Beweis genutzt
Formel\(F_n=\frac{n(3n-1)}{2}\)

Definition

Jede natürliche Zahl lässt sich auf genauso viele Weisen als Summe aufeinander folgender Zahlen darstellen wie sie ungerade Teiler >1 hat.

Zur Veranschaulichung stellen wir die Zahlen hier als Rechteck dar.

Beispiel/Anwendung

Die Zahl 21 wird durch die Zahlen

  • 1,3,7,21 geteilt
  • Sie besitzt also 3 Teiler > 1

 

Mit dem Satz von Sylvester lässt sich die Zahl demnach auf drei unterschiedliche Weisen als Summe darstellen.

  • 10+11 = 21
  • 6+7+8 = 21
  • 1+2+3+4+5+6 = 21

Satz von Sylvester

Die Summe aufeinander folgenden Zahlen kann anschaulich als figuriertes Rechteck dargestellt werden.

Zum Beweis wird ein Rechteck mit ungerader Kantenlänge erzeugt!

Beweis erster Fall

1. Fall:

Eine ungerade Anzahl an Summanden

\(3+4+5+6+7\)

Rot makiert die Mitte

\(5*5\)

 

Beweis zweiter Fall

2. Fall:

Eine gerade Anzahl an Summanden

\(3+4+5+6\)

Rot makiert die Mitte

\(2*9\)