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Polygonalzahl als figurierte Fünfeckszahl

Polygonalzahlen

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Polygonalzahl als Fünfeckszahlen. Die Summe, jeder dritten aufeinanderfolgenden natürlichen Zahl beginnend bei 1, wird als Fünfeckszahl bezeichnet.

Fünfeckszahl als figurierte Polygonalzahl

Fünfeckszahlhäufig bezeichnet als \(Fn\)
Eigenschaftengehört zu den Polygonalzahlen
Formel\(F_n=\frac{n(3n-1)}{2}\)

Polygonalzahlen/ Fünfeckszahlen \(F_n\)

Fünfeckzahlen sind bestimmte Polygonalzahlen, die man figuriert als Fünfeck darstellen kann.

Die Summe, jeder dritten aufeinanderfolgenden natürlichen Zahl beginnend bei 1, wird als Fünfeckszahl bezeichnet.

Die gängige Schreibweise ist \(F_n\)

Hier beispielhaft die ersten fünf Fünfeckszahlen.

Erste Polygonalzahl als Fünfeck
\(F_1=1\)
Zweite Polygonalzahl als Fünfeck
\(F_2=1+4\)
Dritte Polygonalzahl als Fünfeck
\(F_3=1+4+7\)
Vierte Polygonalzahl als Fünfeck
\(F_4=1+4+7+10\)
Fünfte Polygonalzahl als Fünfeck
\(F_5=1+4+7+10+13\)

Die allgemeine Formel ist ist \(F_n=\frac{3n^2-n}{2}\)

Aufbau

Hier einmal der allgemeine Aufbau von \(F_1\) bis \(F_5\) animiert und figuriert dargestellt.

Rückschluss auf Formel

Wie kommt die allgemeine Formel \(F_n=\frac{3n^2-n}{2}\) zustande?

Beispiel an \(F_5\).

Die Fünfeckszahl besteht immer aus 3 gleich großen Dreieckszahlen \(D_5\). Kontur dargestellt als schwarzes Dreieck.

Wir haben also \(3*D_5\) minus den beiden Überschneidungen \(n=5\).

\(F_n=3*D_n-2*n\)

\(F_n=3*\frac{n^2+n}{2}-2*n\)

\(F_n=\frac{3n^2-n}{2}\)

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