Fünfeckszahl als figurierte Polygonalzahl
| Fünfeckszahl | häufig bezeichnet als \(Fn\) |
| Eigenschaften | gehört zu den Polygonalzahlen |
| Formel | \(F_n=\frac{n(3n-1)}{2}\) |
Polygonalzahlen/ Fünfeckszahlen \(F_n\)
Fünfeckzahlen sind bestimmte Polygonalzahlen, die man figuriert als Fünfeck darstellen kann.
Die Summe, jeder dritten aufeinanderfolgenden natürlichen Zahl beginnend bei 1, wird als Fünfeckszahl bezeichnet.
Die gängige Schreibweise ist \(F_n\)
Hier beispielhaft die ersten fünf Fünfeckszahlen.
Die allgemeine Formel ist ist \(F_n=\frac{3n^2-n}{2}\)
Aufbau
Hier einmal der allgemeine Aufbau von \(F_1\) bis \(F_5\) animiert und figuriert dargestellt.
Rückschluss auf Formel
Wie kommt die allgemeine Formel \(F_n=\frac{3n^2-n}{2}\) zustande?
Beispiel an \(F_5\).
Die Fünfeckszahl besteht immer aus 3 gleich großen Dreieckszahlen \(D_5\). Kontur dargestellt als schwarzes Dreieck.
Wir haben also \(3*D_5\) minus den beiden Überschneidungen \(n=5\).
\(F_n=3*D_n-2*n\)
\(F_n=3*\frac{n^2+n}{2}-2*n\)
\(F_n=\frac{3n^2-n}{2}\)
