unsichtbare beziehung quadrat und ungerade figuriert

Quadratzahl und Dreieckszahl

Quadratzahlen als Qn und Dreieckszahlen als Dn im Bezug zueinander. Figurierte Darstellung als Punktefeld für die einfache Darstellung.

Quadratzahlen \(Q_n\)

Quadratzahlen sind Zahlen, die sich als Quadrat darstellen lassen.

Die gängige Schreibweise ist \(Q_n\)

Das Quadrat ist ein Rechteck mit gleicher Seitenlänge.

Hier beispielhaft die ersten fünf Quadratzahlen.

Quadratzahlen häufig bezeichnet als \(Qn\)
Ursprung aus der geometrischen Figur des Quadrats
Dreieckszahlen häufig bezeichnet als \(Dn\)
Eigenschaften gleichseitiges Dreieck mit drei 60° Winkeln
Erste Quadratzahl mit Plättchen
\(Q_1=1*1=1\)
Zweite Quadratzahl mit Plättchen
\(Q_2=2*2=4\)
Dritte Quadratzahl mit Plättchen
\(Q_3=3*3=9\)
Vierte Quadratzahl mit Plättchen
\(Q_4=4*4=16\)
Fünfte Quadratzahl mit Plättchen
\(Q_5=5*5=25\)

Die allgemeine Formel ist \(Q_n=n*n=n^2\)

Unsichtbare Beziehungen

Die Quadratzahlen lassen sich auch immer aus der Summe von den ersten n ungeraden Zahlen bilden.

Beispielweise bildet sich die 4. Quadratzahl \(Q_4=4*4\) auch aus den ersten  4 ungeraden Zahlen 1+3+5+7 (siehe Abbildung).

unsichtbare beziehung quadrat und ungerade figuriert

Dreieckszahlen \(D_n\)

Dreieckszahlen sind Zahlen, die sich als Dreieck darstellen lassen mit gleicher Seitenlänge – gleichseitiges Dreieck.

Die gängige Schreibweise ist \(D_n\)

Erste Dreieckszahl mit Plättchen
\(D_1=1\)
Zweite Dreieckszahl mit Plättchen
\(D_2=1+2\)
Dritte Dreieckszahl mit Plättchen
\(D_3=1+2+3\)
Vierte Dreieckszahl mit Plättchen
\(D_4=1+2+3+4\)
Fünfte Dreieckszahl mit Plättchen
\(D_4=1+2+3+4+5\)

Die allgemeine Formel ist \(D_n=\frac{n*(n+1)}{2}\)

Vorgänger

Die Dreieckszahlen ergeben sich auch immer aus dem Vorgänger – rekursive Beziehung.

\(D_n=D_{n-1}+n\) oder \(D_{n+1}=D_n+(n+1\)

Hier einmal das Beispiel an \(D_5=D_4+5\).

Dreieckszahl rekursiv mit Vorgänger

Bezug zur Quadratzahl

Zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen ergeben die Quadratzahl.

\(D_{n-1}+D_n=Q_n\)

Beispiel an \(D_3+D_4=Q_4\)

\(D_3\) + \(D_4\)  = \(Q_4\) 

Bezug Dreieck-Quadrat figuriert

Expliziter Term am Beispiel \(F_3\)

Hier ein Beispiel einer figurierten Zahl \(F_n\)

Beispiel Figurierte Zahl 1
\(F_1= 4\)
Beispiel Figurierte Zahl 2
\(F_2= 14\)
Beispiel Figurierte Zahl 3
\(F_3= 30\)
Beispiel Figurierte Zahl 4
\(F_4= 52\)

Am Beispiel von \(F_3\) erkennt man zwei Figuren.

Einmal die Quadratzahl \(Q_3\)

und die Dreieckszahl \(D_3\).

\(F_3\) setzt sich also aus \(2Q_3\) + \(2D_3\) zusammen.

\(F_n=2*Q_n+2*D_n\)

Rekursiver Term am Beispiel \(F_2\) und \(F_3\)

Beispiel Figurierte Zahl 1
\(F_1= 4\)
Beispiel Figurierte Zahl 2
\(F_2= 14\)
Beispiel Figurierte Zahl 3
\(F_3= 30\)
Beispiel Figurierte Zahl 4
\(F_4= 52\)

In der Form erkennt man immer den Vorgänger.

\(+2_n\) als Ergänzung der beiden Dreieckszahlen

\(+2*(2_n\)\(-1)\) zur Ergänzung der Quadratzahl

\(F_{n}=F_{n-1}\)\(+2_n\)\(+2*(2_n\)\(-1)\)