Steckbrief vom Viereck
| Viereck | ein abgeschlossener Streckenzug aus vier Seiten |
| Ursprung | in der euklidischen Geometrie |
| Eigenschaften | Vier Eckpunkte, Seiten und Innenwinkel |
| Eckpunkte | mit Großbuchstaben beschriftet gegen den Uhrzeigersinn \({\Delta ABCD}\) |
| Seiten | mit Kleinbuchstaben beschriftet jeweils an den anliegenden Seiten \({abcd}\) |
| Winkelbezeichnung | mit \(\alpha \beta \gamma\) usw.
Die Summe der Innenwinkel beträgt \(360°\) |
| Diagonalen | mit Kleinbuchstaben
\(ef\) |
Verschiedene Vierecke
Trapez
- Ein Trapez hat mindestens zwei parallele Seiten zueinander
- \( a\parallel c\)
- Diese parallelen Seiten werden auch als Grundseite bezeichnet
- Die längere Seite heißt Basis des Trapezes
- Die Höhe im Trapez ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten
Flächeninhalt vom Trapez
- Das entsprechende Trapez wird kopiert
- Es wird um 180° gedreht und daneben gelegt
- Dadurch entsteht die doppelte Seitenlänge von a+c
- Die Form eines Parallelogramms entsteht
- Das Dreieck neben der Höhe wird verschoben, so dass ein Rechteck entsteht
- Als Flächeninhalt haben wir jetzt \(A=(a+c)*h\)
- Da aber das Trapez kopiert wurde und zwei mal vorkommt muss das nun durch zwei geteilt werden! \(A=\frac{(1)}{2}(a+c)*h\)
Trapez verdoppeln zum Rechteck
Parallelogramm
- Die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils parallel zueinander.
- \(a\parallel c\)
- \(b\parallel d\)
- die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang
- Die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils parallel zueinander.
- die gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß
Jedes Parallelogramm ist auch ein Trapez
Flächeninhalt vom Parallelogramm
Die Berechnungen des Flächeninhalts ist sehr ähnlich wie die des Rechtecks.
Grundseite * Höhe ergibt den Flächeninhalt.
\(A=g*h\)
Warum das so ist, kann unten mit dem Schieberegler einmal nachvollzogen werden. Durch die Parallelität ergibt sich ein Rechteck und so sind die Eigenschaften oder Winkel nicht relevant für die Berechnung des Flächeninhalts!
Parallelogramm umformen
Raute oder auch Rhombus
- Alle Seiten sind gleich lang.
- \(a=b=c=d\)
Jede Raute ist auch ein Parallelogramm (und auch ein Trapez).
Flächeninhalt der Raute
Die Berechnungen des Flächeninhalts ist sehr ähnlich wie die des Parallelogramms.
\(A=g*h\)
Der Flächeninhalt kann allerdings auch mit Hilfe der Diagonalenlängen berechnet werden
\(A=\frac{1}{2}e*f\)
Durch das verschieben kann die Konstruktion der Formel nachvollzogen werden!
Raute umformen
Drachenviereck
- Zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten.
- \(a=b; c=d\)
Flächeninhalt des Drachenvierecks
- Auch das Drachenviereck lässt sich wieder als Rechteck umformen
Rechteck
- Das Rechteck hat vier gleich große Innenwinkel
- \(\alpha =\beta =\gamma =\delta \)
Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm.
Flächeninhalt des Rechtecks
Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt beider Seiten; \(A=a*b\)
- Jedes Rechteck besitzt außerdem einen Umkreis.
- Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen
- (eingezeichnet in rot und gelb)
Umkreis
Quadrat
- Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten und zwei gleich lange Diagonalen
- \(a=b=c=d \\ e=f \)
Jedes Quadrat ist auch eine Raute.
Flächeninhalt vom Quadrat
Da beim Quadrat die Seiten die gleiche Länge haben, wird die Seite zum Quadrat genommen; \(A=a^2\)
- Jedes Quadrat besitzt einen Umkreis (siehe Rechteck)
- Außerdem besitzt jedes Quadrat auch einen Inkreis
- Dieser berührt jede Seite nur an einem Punkt
Inkreis
Haus der Vierecke
Umso mehr Eigenschaft ein Viereck hat, umso höher befindet es sich im Haus!
Ist ein Viereck über einem oder mehreren, hat es alle Eigenschaften dessen und zusätzlich noch weitere. Dazu gibt es das Haus der Vierecke:
