Winkelbeschreibung durch Punkte oder Geraden

Winkel

Unterscheidung von Winkelarten in verschiedene Kategorien. Winkelpaare wie Nebenwinkel oder Scheitelwinkel erkennen um die Winkel zu bestimmen ohne zu messen.

Verschiedene Winkelarten

Hier werden die verschiedenen Winkel mit ihren Eigenschaften vorgestellt.

  1. Angefangen bei der Definition und Bestimmung, was ein Winkel überhaupt ist.
  2. Dann die entsprechende Unterscheidung von Winkelarten mit Beispielbildern
  3. Zuletzt die Beziehung zwischen den einzelnen Winkelpaaren
    1. Die Winkelpaare sind mit einem interaktiven Graphen zum selber ausprobieren und nachvollziehen vorgestellt. Die Punkte können verschoben werden und der Winkel wird dementsprechend neu berechnet.
  4. Unten dann noch eine Zusammenfassung der Winkelarten als PDF Datei zum Download!
Winkelals Teil der Ebene
AngabeGeläufig in Grad (Vollwinkel = 360°)
Eigenschaftenliegt zwischen zwei Schenkeln

Definition von Winkeln

Ein Winkel wird durch zwei in der Ebene liegenden Strahlen begrenzt und liegt im gemeinsamen Anfangspunkt S.

Die Strahlen werden auch als Schenkel des Winkels bezeichnet, und der Punkt als Scheitelpunkt.

Steckbrief:

  • Die Größe des Winkels wird mit einem Winkelmaß angegeben (bei uns in Grad ° geläufig)
  • Der Winkel wird immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen
  • Kann beschrieben werden durch:
    • Drei Punkte \(\alpha = \angle (DSB)\)
    • Zwei Halbgeraden \(\alpha = \angle (f, g)\)
Winkelbeschreibung durch Punkte oder Geraden

Unterscheidung von Winkelarten

Verschiedene Winkelarten können genau kategorisiert und nach Merkmalen eingeordnet werden.

Unten einmal die genaue Unterscheidung der Winkelarten.

Nullwinkel

\(\alpha = 0°\)

Nullwinkel mit 0°

Spitzer Winkel

\(0°<\alpha<90°\)

Größer als 0°, kleiner als 90°

Spitzer Winkel

Rechter Winkel

\(\alpha = 90°\)

rechter Winkel mit 90°

Stumpfer Winkel

\(90°<\alpha<180°\)

Größer als 90°, kleiner als 180°

Stumpfer Winkel

Gestreckter Winkel

\(\alpha = 180°\)

Gestreckter Winkel mit 180°

Überstumpfer Winkel

\(180°<\alpha<360°\)

Größer als 180°, kleiner als 360°

Überstumpfer Winkel

Vollwinkel

\(\alpha = 360°\)

Vollwinkel mit 360°

Zu erkennen ist, dass der Nullwinkel, rechte Winkel, gestreckter Winkel und der Vollwinkel durch eine genaue Gradzahl bestimmt sind.

Der spitze-, stumpfe– und überstumpfe Winkel sind nicht exakt bestimmt, sondern liegen immer zwischen den anderen Winkelarten.

Winkelpaare

Der Vollwinkel gibt schon einen Ausblick darauf, welche Beziehungen zwischen Winkeln bestehen können.

Der Vollwinkel umschließt 360°. Diese Eigenschaft können wir nutzen und so andere Winkelpaare ableiten, ohne dass wir unbedingt den Winkel abmessen müssen.

Einen Vollwinkel mit 360° können wir dementsprechend auch als Kreis darstellen.

Die unten vorgestellten Winkelpaare sind zueinander immer gleich groß!

Die Graphen unten sind alle interaktiv und können entsprechend verschoben werden zum ausprobieren. So kann auch besser nachvollzogen werden wie die Beziehung der einzelnen Winkelpaare zueinander ist!


Punkt A kann verschoben werden um \(\alpha\) abzumessen.
 

Nebenwinkel

Wird der Vollwinkel von 360° in zwei Hälften geteilt, hat jeder Halbkreis also nur 180°.

Bei einer Geraden haben wir also jeweils oberhalb und unterhalb der Geraden einen Winkel von 180°.

Wenn sich nun zwei Geraden schneiden, ergänzen sich die Winkel immer zu 180° und man spricht von einem Nebenwinkel.


Beispiel Nebenwinkel

Wenn jetzt nur der Winkel Alpha gegeben wäre, könnte der Winkel Beta einfach abgeleitet werden (als Funktion des Nebenwinkels) mit der folgenden Rechnung:

Beta = 180° – Alpha

 

Scheitelwinkel

Scheitelwinkel liegen an sich zwei kreuzenden Geraden gegenüber und sind gleich groß!


Der entsprechende Scheitelwinkel \(\alpha_1 und \beta_1\)
 

Stufenwinkel

Stufenwinkel findet man dort, wo zwei parallele Geraden durch eine andere Gerade geschnitten werden.

Der entsprechende Stufenwinkel \(\alpha_1 = \alpha und \beta_1 = \beta\) ist immer gleich groß.

 

Wechselwinkel

Wechselwinkel bezeichnet den Scheitelwinkel zum Stufenwinel an der parallelen Geraden.

Die Wechselwinkel sind immer zu ihren Winkeln gleich groß. \(\alpha_1 = \alpha und \beta_1 = \beta\)