Summe ungerader Zahlen als Plättchen

Gerade und ungerade Zahlen

Gerade Zahlen sind ohne Rest durch zwei teilbar, als Formel 2*n. Zahlen die nicht ohne Rest teilbar sind sind die ungerade Zahlen, als Formel 2*n-1 oder 2*n+1.

Vorwort Gerade & Ungerade Zahlen

Gerade Zahlen sind ohne Rest durch zwei teilbar.

Zahlen die nicht ohne Rest durch zwei teilbar sind, sind ungerade Zahlen.

Gerade Zahlen enden auf0, 2, 4, 6, 8
Formel\(2*k\)
Ungerade Zahlen enden auf1, 3, 5, 7, 9
Formel\(2*k+1\) oder \(2*k-1\)


Augenscheinlich wirken gerade Zahlen und ungerade Zahlen unscheinbar und nicht näher betrachtenswert. Lediglich die Einerstelle bestimmt die Zahl genauer und gibt Auskunft, ob es eine gerade oder um eine ungerade Zahl ist.

Aber diese Eigenschaften sind wichtig um zu betrachten, ob eine bestimme Formel oder Eigenschaft eine entsprechende Zahl vielleicht immer als gerade oder ungerade Zahl bestimmt.

Gerade Zahlen

Parität: Gerade Zahlen sind zu betrachten als das Vielfache von 2.

Formell in der Form \(2*k\)

Zur Veranschaulichung sind hier die ersten fünf geraden Zahlen figuriert als Doppelreihe mit Hilfe von Plättchen dargestellt;

  • \(10\) ist beispielsweise die fünfte gerade Zahl
    • \(10=2*5\)

Häufig in der Form \(2*k\) angegeben für gerade Zahlen.

\(k\) als beliebige natürliche Zahl oder Null.

Die ersten fünf geraden Zahlen

Ungerade Zahlen

Ungerade Zahlen können auf zwei unterschiedliche Arten dargestellt und ausgedrückt werden;

  • \(2*k-1\) wobei \(k\) als beliebige natürliche Zahl steht
  • \(2*k+1\) wobei \(k\) als beliebige natürliche Zahl oder Null steht
  • \(11=2*5+1\) -> 11 ist damit die fünfte ungerade Zahl!


Das besondere ist, dass die ungerade Zahlen nicht als vollständige Doppelreihe dargestellt werden. Entweder kommt ein Plättchen dazu, oder es wird abgezogen.

Häufig in der Form \(2*k+1\) angegeben für ungerade Zahlen.

Die genauen Unbekannten variieren allerdings je nach Formel.

Die allgemeine Form bleibt aber gleich!

Ungerade Zahlen figuriert

Die ersten drei ungeraden Zahlen

Plättchen als Doppelreihe mit Beweis

Der einfachste Beweis für gerade Zahlen und ungerade Zahlen gelingt durch das Legen einer Doppelreihe mit Plättchen als figurierte Darstellung;

Gerade Zahlen bilden immer eine vollständige Doppelreihe.

Ungerade Zahlen haben – je nach Perspektive – einen Stein mehr bzw. einen Stein weniger in der Doppelreihe. Ein Stein bleibt übrig ohne Partner und ohne Rest!

Gerade Zahl mit Plättchen figuriert
Ungerade Zahl mit Plättchen figuriert

Die Summe von zwei geraden Zahlen ist gerade

Die Doppelreihe von zwei geraden Zahlen wird zusammengesetzt (wie bei der Addition).

Es entsteht eine vollständige Doppelreihe ohne Rest, egal welcher Ausgangszahlen da die Zahl immer ein Vielfaches von zwei ist!

Summe gerader Zahlen als Plättchen figuriert
10+6=16

Die Summe von zwei ungeraden Zahlen ist gerade

Bei dem Zusammensetzen (Addition) von zwei ungeraden Zahlen bilden die beiden einzelnen Steine nun ein sich ergänzendes Paar.

Als Summe entsteht so immer eine volle Doppelreihe und so eine gerade Zahl.

Summe ungerader Zahlen als Plättchen figuriert
9+7=16

Die Summe von einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade

Das Zusammensetzen einer geraden und einer ungeraden Zahl hat als Ergebnis eine Doppelreihe mit einem zusätzlichen Einzelstein; also eine ungerade Zahl.

Summe gerader und ungerader Zahlen als Plättchen figuriert
10+5=15