Umkreis Dreieck - Umkreismittelpunkt als Schnittpunkt Mittelsenkrechte

Umkreismittelpunkt

Der Umkreismittelpunkt als Schnittpunkt der Mittelsenkrechten. Dieser ist von allen Eckpunkten gleich weit entfernt. Der Umkreis verläuft durch alle Ecken.

Definition Umkreismittelpunkt

Der Umkreismittelpunkt ergibt sich aus den Schnittpunkten von mindestens zwei Mittelsenkrechten im Dreieck.

UmkreismittelpunktSchnittpunkt Mittelsenkrechte
Eigenschaftenvon allen Eckpunkten gleich weit entfernt
Umkreisverläuft durch alle Eckpunkte
Lagemuss nicht innerhalb des Dreiecks liegen

Umkreis des Dreiecks
A und B lassen sich verschieben

Umkreismittelpunkt bestimmen

Die Konstruktion des Umkreismittelpunkts des Dreiecks kann schnell unübersichtlich werden durch die konstruierten Hilfskreise.

Je nach Möglichkeit können die Hilfskreise auch nur angedeutet werden.

Zur Konstruktion des Umkreismittelpunkts müssen zuerst Mittelsenkrechte konstruiert werden.

Umkreis Dreieck

Konstruieren

Zuerst bestimmen wir den Mittelpunkt der Seite \(\overline{AB}\) mit Hilfe einer Mittelsenkrechten.

  1. Einen Kreis um A konstruieren durch B
    1. Radius \(\overline{AB}\) von Punkt A
  2. Einen Kreis um B konstruieren durch A
    1. Radius \(\overline{BA}\) von Punkt B
  3. Schnittpunkte der beiden Kreise markieren und verbinden
    1. Dadurch wurde eine Mittelsenkrechte zwischen den Punkte konstruiert
  4. Die Schritte für alle Seiten wiederholen!


Jetzt haben wir den Umkreismittelpunkt als Schnittpunkt von mindestens zwei Mittelsenkrechten des Dreiecks bestimmt.

Zusätzlich ist der Umkreis vom Dreieck konstruiert. Dieser hat den Radius vom Umkreismittelpunkt S zum Eckpunkt. Also \(\overline{SA} \ oder \ \overline{SB} \ oder \ \overline{SC}\). Es kann ein Eckpunkt ausgesucht werden, da der Abstand zu allen Eckpunkten gleich ist!

Alle Punkte können auch zwischen den verschiedenen Konstruktionsschritten verschoben werden!


Umkreismittelpunkt bestimmen