Senkrechte bzw Orthogonale Gerade rechter Winkel

Senkrechte konstruieren

Konstruktion der Senkrechten nur mit Zirkel und Lineal! Interaktives Beispiel einer Mittelsenkrechten bzw. Orthogonalen auf einer Strecke und durch einen Punkt.

Definition Senkrechte

Die Senkrechte steht genau im 90° Winkel; also im rechten Winkel auf einer Geraden. Bezeichnet werden kann es auch mit dem Begriff Orthogonale (aus dem Griechischen – die Orthogonale Gerade ist nur ein anderer Bezeichnung dafür).

Bezeichnet wird das ganze mit dem Symbol \( a \perp b\) (in diesem Fall ist a senkrecht auf b – bzw. b senkrecht auf a).

Die Mittelsenkrechte sitzt genau in der Mitte einer Strecke. Diese wird beispielsweise häufig bei einem Dreieck konstruiert.

Senkrechteim 90° Winkel
Ursprungin der euklidischen Geometrie
Bezeichnungorthogonal, senkrecht \( a \perp b\)

In dem Beispielbild „Senkrechte“ wurde auf der Geraden (in schwarz) eine Orthogonale konstruiert (in grün). Diese steht im rechten Winkel auf der entsprechenden Geraden. Die Kreise dienen lediglich als Konstrukt, um die Senkrechte entsprechend konstruieren zu können.

Dadurch kann ohne dass ein rechter Winkel abgemessen werden muss, die Senkrechte präzise konstruiert werden!

Senkrechte bzw Orthogonale Gerade rechter Winkel

Senkrechte im 90° Winkel

Konstruktion der Senkrechten

Eine Senkrechten auf einer Geraden wird mit Hilfe von den Schnittpunkten zweier Kreise konstruiert.

Um eine beliebige Senkrechte auf einer Geraden oder Strecke zu konstruieren sind folgende Schritte notwendig:

  1. Zwei beliebige Punkte auf der Geraden festlegen (die nicht die gleichen Koordinaten haben) – AB
  2. Jetzt zwei Kreise um A und B konstruieren die sich schneiden.
  3. Die konstruierten Kreise schneiden sich nun an zwei Punkten
  4. Beide Schnittpunkte verbinden
  5. Die Senkrechte ist konstruiert

Unten in dem Feld kann die Konstruktion einmal schrittweise abgespielt werden!

Über die Felder Konstruktion & Reset kann die Konstruktion nachvollzogen werden.

Senkrechte durch Punkt

Um die Senkrechte auf bzw. durch einem Punkt zu konstruieren ist nur ein weiterer Schritt notwendig:

  1. Einen Kreis konstruieren um D als Mittelpunkt; Schnittpunkte A und B auf der Geraden kennzeichnen
  2. Jetzt einen Kreis mit A als Mittelpunkt durch B – Radius von \(\overline{AB}\) (und andersherum!)
  3. Die Schnittpunkte der Kreise markieren
    1. (hier mit U und T gekennzeichnet)
  4. Die beiden Schnittpunkte verbinden
  5. Die Senkrechte zu der Geraden ist fertig konstruiert

Hier können die einzelnen Punkte auch verschoben werden!

Mittelsenkrechte auf Strecke

Eine Mittelsenkrechte verläuft (wie der Name es vermuten lässt), genau mittig zwischen zwei Objekten (Geraden, Strecken, Punkte etc.).

Im Beispiel ist eine Strecke eingezeichnet, welche durch die Punkte A und B begrenzt ist.

  1. Einen Kreis konstruieren mit A als Mittelpunkt durch den Punkt B Radius von \(\overline{AB}\)
  2. Das gleiche für B als Mittelpunkt durch A
  3. Schnittpunkte des Kreises markieren (hier mit U und T)
  4. Die beiden Schnittpunkte verbinden
  5. Die Mittelsenkrechte für die Strecke ist konstruiert
    1. sowie der Mittelpunkt auf der Strecke als Schnittpunkt S der Senkrechten und der Strecke

Rückblick Konstruktion

Das Konstruieren ohne Geodreieck oder Maßband bietet die Möglichkeit, dass eine exakte Darstellung gelingt. Da nichts abgemessen werden kann, müssen die einzelnen Schritte zum Konstruieren kombiniert werden!

Das bietet die Möglichkeit, dass der Zusammenhang leichter verstanden werden kann, da eine Konstruktion viele Kompetenzen, Eigenschaften und Verknüpfungen abverlangt!

Um die Beispiele selber zu konstruieren ist nur ein Zirkel und Lineal als Hilfsmittel notwendig.

gelbes massband - maßstab, lineal - figuriert