Darstellung des allgemeinen Dreiecks. Seitenlänge, Eckpunkte und Winkel

Dreiecke

Definition und Klassifizierung von Dreiecken. Allgemeine Betrachtung der Eigenschaften über die Winkel und Seiten bzw. Schenkel.

Klassifizierung von Dreiecken

Ein Dreieck als ein abgeschlossener Streckenzug aus drei Seiten, welche nicht auf einer Geraden liegen!

Steckbrief:

  • Eckpunkte werden mit Großbuchstaben beschriftet gegen den Uhrzeigersinn.
    • \(\mathbf{\Delta ABC}\)
  • Seiten werden mit Kleinbuchstaben beschriftet, jeweils zu den gegenüberliegenden Eckpunkten hin
    • \(\mathbf{abc}\)
    • auch als Schenkel bezeichnet
  • Winkelbezeichnung mit
    • \(\alpha \beta \gamma\) usw.
    • Summe der Innenwinkel beträgt \(180°\)
Dreieck geometrische Figur mit drei Seiten
Ursprung in der euklidischen Geometrie
Eigenschaften Drei Eckpunkte, Seiten und Innenwinkel
Darstellung des allgemeinen Dreiecks. Seitenlänge, Eckpunkte und Winkel

beliebiges Dreieck

Klassifizierung nach den Seiten

Um das Dreieck genau zu klassifizieren kann man das Dreieck entweder über die Eigenschaften der Seiten oder über die Eigenschaften der Winkel definieren und bestimmen.

Gleichseitiges Dreieck

Alle drei Seiten des Dreiecks sind gleich lang.

Daraus folgt, dass alle Winkel gleich groß sein müssen mit jeweils 60° Winkeln.

\(a=b=c\)

-> Jedes gleichseitige Dreieck ist gleichschenklig!

Siehe auch: spitzwinkliges Dreieck

Gleichseitiges Dreieck; Dreieck mit gleicher Seitenlänge

Gleichschenkliges Dreieck

Mindestens zwei Seiten des Dreiecks sind gleich lang.

Die Basiswinkel sind gleich groß; in der Abbildung \(\alpha \beta\)

\(a=b\)

Ein gleichschenkliges Dreieck mit mindestens 2 gleich langen Seiten

Unregelmäßiges Dreiecke

Unregelmäßige Dreiecke haben drei unterschiedlich lange Seiten

bzw. drei unterschiedlich große Winkel.

Aus der einen Bedingung folgt automatisch auch die Andere!

\(a \neq b; a \neq c; b \neq c \)

Unregelmäßiges Dreieck mit drei unterschiedlich langen Seiten

Klassifizierung nach den Winkeln

Um das Dreieck genau zu klassifizieren kann man das Dreieck entweder über die Eigenschaften der Seiten oder über die Eigenschaften der Winkel definieren und bestimmen.

Stumpfwinkliges Dreieck

Ein Innenwinkel ist ein stumpfer Winkel (90°-180°).

Die längste Seite liegt gegenüber dem stumpfen Winkel.

\(\gamma\ > 90°\)

Ein stumpfwinkliges Dreieck mit einem Innenwinkel größer als 90°

Rechtwinkliges Dreieck

Ein Innenwinkel ist ein rechter Winkel (90°).

Die längste Seite liegt gegenüber dem rechten Winkel.

\(\gamma\ = 90°\)

Ein rechtwinkliges Dreieck mit einem Winkel = 90°

Spitzwinkliges Dreieck

Alle Innenwinkel sind spitze Winkel (kleiner als 90°).

\(\alpha < 90° \\
\beta < 90° \\
\gamma < 90°\)

Ein spitzwinkliges Dreieck mit allen Winkeln kleiner als 90°