Gerade & Ungerade Zahlen
Gerade Zahlen sind ohne Rest durch zwei teilbar.
Zahlen die nicht ohne Rest durch zwei teilbar sind, sind ungerade Zahlen.
| Gerade Zahlen enden auf | 0, 2, 4, 6, 8 |
| Formel | \(2*k\) |
| Ungerade Zahlen enden auf | 1, 3, 5, 7, 9 |
| Formel | \(2*k+1\) oder \(2*k-1\) |
Augenscheinlich wirken gerade Zahlen und ungerade Zahlen unscheinbar und nicht näher betrachtenswert. Lediglich die Einerstelle bestimmt die Zahl genauer und gibt Auskunft, ob es eine gerade oder um eine ungerade Zahl ist.
Aber diese Eigenschaften sind wichtig um zu betrachten, ob eine bestimme Formel oder Eigenschaft eine entsprechende Zahl vielleicht immer als gerade oder ungerade Zahl bestimmt.
Gerade Zahlen
Parität: Gerade Zahlen sind zu betrachten als das Vielfache von 2.
Formell in der Form \(2*k\)
Zur Veranschaulichung sind hier die ersten fünf geraden Zahlen figuriert als Doppelreihe mit Hilfe von Plättchen dargestellt;
- \(10\) ist beispielsweise die fünfte gerade Zahl
- \(10=2*5\)
Häufig in der Form \(2*k\) angegeben für gerade Zahlen.
\(k\) als beliebige natürliche Zahl oder Null.
Die ersten fünf geraden Zahlen
Ungerade Zahlen
Ungerade Zahlen können auf zwei unterschiedliche Arten dargestellt und ausgedrückt werden;
- \(2*k-1\) wobei \(k\) als beliebige natürliche Zahl steht
- \(2*k+1\) wobei \(k\) als beliebige natürliche Zahl oder Null steht
- \(11=2*5+1\) -> 11 ist damit die fünfte ungerade Zahl!
Das besondere ist, dass die ungerade Zahlen nicht als vollständige Doppelreihe dargestellt werden. Entweder kommt ein Plättchen dazu, oder es wird abgezogen.
Häufig in der Form \(2*k+1\) angegeben für ungerade Zahlen.
Die genauen Unbekannten variieren allerdings je nach Formel.
Die allgemeine Form bleibt aber gleich!
Die ersten drei ungeraden Zahlen
Plättchen als Doppelreihe mit Beweis
Der einfachste Beweis für gerade Zahlen und ungerade Zahlen gelingt durch das Legen einer Doppelreihe mit Plättchen als figurierte Darstellung;
Gerade Zahlen bilden immer eine vollständige Doppelreihe.
Ungerade Zahlen haben – je nach Perspektive – einen Stein mehr bzw. einen Stein weniger in der Doppelreihe. Ein Stein bleibt übrig ohne Partner und ohne Rest!
Die Summe von zwei geraden Zahlen ist gerade
Die Doppelreihe von zwei geraden Zahlen wird zusammengesetzt (wie bei der Addition).
Es entsteht eine vollständige Doppelreihe ohne Rest, egal welcher Ausgangszahlen da die Zahl immer ein Vielfaches von zwei ist!
Die Summe von zwei ungeraden Zahlen ist gerade
Bei dem Zusammensetzen (Addition) von zwei ungeraden Zahlen bilden die beiden einzelnen Steine nun ein sich ergänzendes Paar.
Als Summe entsteht so immer eine volle Doppelreihe und so eine gerade Zahl.
Die Summe von einer geraden und einer ungeraden Zahl ist ungerade
Das Zusammensetzen einer geraden und einer ungeraden Zahl hat als Ergebnis eine Doppelreihe mit einem zusätzlichen Einzelstein; also eine ungerade Zahl.
