Seitenhalbierende Dreieck konstruieren

Seitenhalbierende

Seitenhalbierende konstruieren vom Mittelpunkt der Seiten durch den gegenüberliegenden Eckpunkt. Der Schnittpunkt davon ergibt den Schwerpunkt des Dreiecks.

Seitenhalbierende konstruieren

Die Seitenhalbierenden findet man im Dreieck.

  • Diese verläuft durch einen Eckpunkt zu dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite
    • Bezeichnet immer mit der passenden Seite
    • z.B. Seitenhalbierende auf c mit \(s_{c}\) bezeichnet usw.
  • Teilt das Dreieck immer in gleich große Flächen
  • Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der Schwerpunkt – S des Dreiecks

Hier im Beispiel verläuft die Seitenhalbierende vom dem Eckpunkt C durch die Mitte der Punkte \(\overline{AB}\)

Seitenhalbierendeverläuft vom Mittelpunkt der Seite durch den gegenüberliegenden Eckpunkt
Ursprungin der euklidischen Geometrie/Dreiecksgeometrie
BezeichnungSchnittpunkt als Schwerpunkt
Werkzeuge zum KonstruierenZirkel und Lineal ohne Maßeinheiten zum Messen

Seitenhalbierende in Gelb

Seitenhalbierende konstruieren

Zur Konstruktion werden Kreise zur Hilfe konstruiert, die eindeutig die Punkte festlegen.

Zuerst muss der Mittelpunkt ermittelt werden, wodurch die Seitenhalbierende dann verläuft. Das funktioniert ähnlich wie die Konstruktion einer Senkrechten durch den Punkt.

Senkrechte durch Mittelpunkt

Zuerst bestimmen wir den Mittelpunkt der Seite \(\overline{AB}\) mit Hilfe einer Mittelsenkrechten.

  1. Einen Kreis um A konstruieren durch B
    1. Radius \(\overline{AB}\) von Punkt A
  2. Einen Kreis um B konstruieren durch A
    1. Radius \(\overline{BA}\) von Punkt B
  3. Schnittpunkte der beiden Kreise markieren und verbinden
    1. Dadurch wurde eine Senkrechte in der Mitte der beiden Punkte konstruiert
  4. Schnittpunkte der Senkrechte mit der Seite \(\overline{AB}\) markieren M


Jetzt haben wir den Mittelpunkt für eine Seite des Dreiecks bestimmt.


Mittelpunkt bestimmen

Jetzt ist nur noch ein letzter Schritt notwendig.
  • Den konstruierten Mittelpunkt M mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt C verbinden zur Seitenhalbierenden
  • Eine Seitenhalbierende \(s_{c}\) ist konstruiert!

Da es bei der Konstruktion mit Papier und Stift durchaus unübersichtlich wird durch die ganzen Hilfskonstruktionen, empfiehlt es sich beispielsweise die Kreise nur anzudeuten um das ganze übersichtlicher zu gestalten!

Seitenhalbierende verbinden

Schwerpunkt des Dreiecks

Durch die Konstruktion von mindestens zwei Seitenhalbierenden in einem Dreieck erhält man über den Schnittpunkt dieser den Schwerpunkt des Dreiecks S.

Diese werden auch als Schwerlinie bezeichnet.

Schwerpunkt

Die Konstruktion einer Seitenhalbierenden kann natürlich für alle Seiten abc gemacht werden.

  • Hier im Beispiel sind alle drei Seitenhalbierende konstruiert
  • Der Schnittpunkte von mindestens zwei Seitenhalbierenden bestimmt den Schwerpunkt S des Dreiecks.
    • Der Schwerpunkt teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1


Der Schwerpunkt hat den Namen, da es auch der tatsächliche Punkt ist wenn man das Dreieck beispielsweise auf einem Stift balancieren möchte.


Schwerpunkt
Punkte sind beweglich