Quadratzahlen \(Q_n\)
Quadratzahlen sind Zahlen, die sich als Quadrat darstellen lassen.
Die gängige Schreibweise ist \(Q_n\)
Das Quadrat ist ein Rechteck mit gleicher Seitenlänge.
Hier beispielhaft die ersten fünf Quadratzahlen.
| Quadratzahlen | häufig bezeichnet als \(Qn\) |
| Ursprung | aus der geometrischen Figur des Quadrats |
| Dreieckszahlen | häufig bezeichnet als \(Dn\) |
| Eigenschaften | gleichseitiges Dreieck mit drei 60° Winkeln |
Die allgemeine Formel ist \(Q_n=n*n=n^2\)
Unsichtbare Beziehungen
Die Quadratzahlen lassen sich auch immer aus der Summe von den ersten n ungeraden Zahlen bilden.
Beispielweise bildet sich die 4. Quadratzahl \(Q_4=4*4\) auch aus den ersten 4 ungeraden Zahlen 1+3+5+7 (siehe Abbildung).
Dreieckszahlen \(D_n\)
Dreieckszahlen sind Zahlen, die sich als Dreieck darstellen lassen mit gleicher Seitenlänge – gleichseitiges Dreieck.
Die gängige Schreibweise ist \(D_n\)
Die allgemeine Formel ist \(D_n=\frac{n*(n+1)}{2}\)
Vorgänger
Die Dreieckszahlen ergeben sich auch immer aus dem Vorgänger – rekursive Beziehung.
\(D_n=D_{n-1}+n\) oder \(D_{n+1}=D_n+(n+1\)
Hier einmal das Beispiel an \(D_5=D_4+5\).
Bezug zur Quadratzahl
Zwei aufeinander folgende Dreieckszahlen ergeben die Quadratzahl.
\(D_{n-1}+D_n=Q_n\)
Beispiel an \(D_3+D_4=Q_4\)
\(D_3\) + \(D_4\) = \(Q_4\)
Expliziter Term am Beispiel \(F_3\)
Hier ein Beispiel einer figurierten Zahl \(F_n\)
Am Beispiel von \(F_3\) erkennt man zwei Figuren.
Einmal die Quadratzahl \(Q_3\)
und die Dreieckszahl \(D_3\).
\(F_3\) setzt sich also aus \(2Q_3\) + \(2D_3\) zusammen.
\(F_n=2*Q_n+2*D_n\)
Rekursiver Term am Beispiel \(F_2\) und \(F_3\)
In der Form erkennt man immer den Vorgänger.
\(+2_n\) als Ergänzung der beiden Dreieckszahlen
\(+2*(2_n\)\(-1)\) zur Ergänzung der Quadratzahl
\(F_{n}=F_{n-1}\)\(+2_n\)\(+2*(2_n\)\(-1)\)
Quellen
- Zugang zu Quadratzahlen 1998 - Siemens, Bärbel
- Mathematik lehren -1990 - Engel, H. J.
