Eigenschaften vom Quadrat als Viereck mit Diagonalen und Seiten

Haus der Vierecke

Ein Viereck ist erst einmal eine unpräzise Beschreibung. Verschiedene Eigenschaften der Seiten, Längen oder Winkel bestimmen ein Viereck erst genauer.

Steckbrief vom Viereck

Viereck ein abgeschlossener Streckenzug aus vier Seiten
Ursprung in der euklidischen Geometrie
Eigenschaften Vier Eckpunkte, Seiten und Innenwinkel
Eckpunkte mit Großbuchstaben beschriftet gegen den Uhrzeigersinn \({\Delta ABCD}\)
Seiten mit Kleinbuchstaben beschriftet jeweils an den anliegenden Seiten \({abcd}\)
Winkelbezeichnung mit \(\alpha \beta \gamma\) usw.
Die Summe der Innenwinkel beträgt \(360°\)
Diagonalen mit Kleinbuchstaben
\(ef\)

Verschiedene Vierecke

Trapez

  • Ein Trapez hat mindestens zwei parallele Seiten zueinander
    • \( a\parallel c\)

  • Diese parallelen Seiten werden auch als Grundseite bezeichnet
    • Die längere Seite heißt Basis des Trapezes

  • Die Höhe im Trapez ist der Abstand zwischen den parallelen Seiten
Trapez mit mindestens zwei zueinander parallelen Seiten

Flächeninhalt vom Trapez

Jedes Trapez lässt sich immer als Rechteck umformen! Dies lässt sich mit dem Graphen nachvollziehen.
  • Das entsprechende Trapez wird kopiert
  • Es wird um 180° gedreht und daneben gelegt
    • Dadurch entsteht die doppelte Seitenlänge von a+c
    • Die Form eines Parallelogramms entsteht
  • Das Dreieck neben der Höhe wird verschoben, so dass ein Rechteck entsteht

  • Als Flächeninhalt haben wir jetzt \(A=(a+c)*h\)
  • Da aber das Trapez kopiert wurde und zwei mal vorkommt muss das nun durch zwei geteilt werden! \(A=\frac{(1)}{2}(a+c)*h\)

Trapez verdoppeln zum Rechteck

Parallelogramm

    • Die gegenüberliegenden Seiten sind jeweils parallel zueinander.
      • \(a\parallel c\)
      • \(b\parallel d\)
    • die gegenüberliegenden Seiten sind gleich lang


Jedes Parallelogramm ist auch ein Trapez

Eigenschaften vom Parallelogramm mit parallelen Seiten

Flächeninhalt vom Parallelogramm

Die Berechnungen des Flächeninhalts ist sehr ähnlich wie die des Rechtecks.

Grundseite * Höhe ergibt den Flächeninhalt.

\(A=g*h\)

Warum das so ist, kann unten mit dem Schieberegler einmal nachvollzogen werden. Durch die Parallelität ergibt sich ein Rechteck und so sind die Eigenschaften oder Winkel nicht relevant für die Berechnung des Flächeninhalts!


Parallelogramm umformen

Raute oder auch Rhombus

  • Alle Seiten sind gleich lang.
    • \(a=b=c=d\)


Jede Raute ist auch ein Parallelogramm (und auch ein Trapez).

Eigenschaften Raute mit Diagonalen und Seiten

Flächeninhalt der Raute

Die Berechnungen des Flächeninhalts ist sehr ähnlich wie die des Parallelogramms.

\(A=g*h\)

Der Flächeninhalt kann allerdings auch mit Hilfe der Diagonalenlängen berechnet werden

\(A=\frac{1}{2}e*f\)

Durch das verschieben kann die Konstruktion der Formel nachvollzogen werden!




Raute umformen

Drachenviereck

  • Zwei Paare gleich langer benachbarter Seiten.
    • \(a=b; c=d\)
Eigenschaften vom Drachenviereck

Flächeninhalt des Drachenvierecks

  • Auch das Drachenviereck lässt sich wieder als Rechteck umformen!
  •  

Rechteck

  • Das Rechteck hat vier gleich große Innenwinkel
    • \(\alpha =\beta =\gamma =\delta \)


Jedes Rechteck ist auch ein Parallelogramm.

Eigenschaften vom Rechteck der Seiten und Winkel - Figuriert.de Geometrie

Flächeninhalt des Rechtecks

Der Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich aus dem Produkt beider Seiten; \(A=a*b\)

  • Jedes Rechteck besitzt außerdem einen Umkreis.
  • Der Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen
    • (eingezeichnet in rot und gelb)

Umkreis

Quadrat

  • Das Quadrat hat vier gleich lange Seiten und zwei gleich lange Diagonalen
    • \(a=b=c=d \\ e=f \)


Jedes Quadrat ist auch eine Raute.

Eigenschaften vom Quadrat als Viereck mit Diagonalen und Seiten

Flächeninhalt vom Quadrat

Da beim Quadrat die Seiten die gleiche Länge haben, wird die Seite zum Quadrat genommen; \(A=a^2\)

  • Jedes Quadrat besitzt einen Umkreis (siehe Rechteck)
  • Außerdem besitzt jedes Quadrat auch einen Inkreis
    • Dieser berührt jede Seite nur an einem Punkt

Inkreis

Haus der Vierecke

Umso mehr Eigenschaft ein Viereck hat, umso höher befindet es sich im Haus!
Ist ein Viereck über einem oder mehreren, hat es alle Eigenschaften dessen und zusätzlich noch weitere. Dazu gibt es das Haus der Vierecke:

Haus der Vierecke