Definition Umkreismittelpunkt
Der Umkreismittelpunkt ergibt sich aus den Schnittpunkten von mindestens zwei Mittelsenkrechten im Dreieck.
| Umkreismittelpunkt | Schnittpunkt Mittelsenkrechte |
| Eigenschaften | von allen Eckpunkten gleich weit entfernt |
| Umkreis | verläuft durch alle Eckpunkte |
| Lage | muss nicht innerhalb des Dreiecks liegen |
Umkreis des Dreiecks
A und B lassen sich verschieben
Umkreismittelpunkt bestimmen
Die Konstruktion des Umkreismittelpunkts des Dreiecks kann schnell unübersichtlich werden durch die notwendigen Hilfslinien und Hilfskreise.
Bei der Konstruktion mit Zirkel sollten die jeweiligen Hilfskreise am besten nur angedeutet werden!
Außerdem müssen zur Konstruktion des Umkreismittelpunkts zuerst die jeweiligen Mittelsenkrechten konstruiert werden.
Konstruieren
Zuerst bestimmen wir den Mittelpunkt der Seite \(\overline{AB}\) mit Hilfe einer Mittelsenkrechten.
- Einen Kreis um A konstruieren durch B
- Radius \(\overline{AB}\) von Punkt A
- Einen Kreis um B konstruieren durch A
- Radius \(\overline{BA}\) von Punkt B
- Schnittpunkte der beiden Kreise markieren und verbinden
- Dadurch wurde eine Mittelsenkrechte zwischen den Punkte konstruiert
- Die Schritte für alle Seiten wiederholen!
Jetzt haben wir den Umkreismittelpunkt als Schnittpunkt von mindestens zwei Mittelsenkrechten des Dreiecks bestimmt.
Zusätzlich ist der Umkreis vom Dreieck konstruiert. Dieser hat den Radius vom Umkreismittelpunkt S zum Eckpunkt. Also \(\overline{SA} \ oder \ \overline{SB} \ oder \ \overline{SC}\). Es kann ein Eckpunkt ausgesucht werden, da der Abstand zu allen Eckpunkten gleich ist!
Alle Punkte können auch zwischen den verschiedenen Konstruktionsschritten verschoben werden!
Umkreismittelpunkt bestimmen
Besondere Eigenschaften vom Umkreismittelpunkt
Der Umkreismittelpunkt kann auch außerhalb des Dreiecks liegen!
Dies ist immer der Fall wenn das Dreieck stumpfwinklig ist (ein Winkel über 90°)!
Hier im Beispiel können alle Eckpunkte verschoben werden wodurch der Umkreismittelpunkt interaktiv verschoben wird.
Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks
